Inducția matematică#

Prof. Maria Kaproș, mariakapros@poligon-edu.ro

Motivație#

Concluziile generale pe care le tragi după doar câteva situații particulare sunt, de multe ori, nefondate. Doar pentru că o întâmplare s-a repetat de trei ori nu garantează că și a patra oară o să funcționeze. Iar când este vorba de rezultate matematice, oricum nimic nu poate fi acceptat fără demonstrație.

Inducția matematică este metoda care te ajută exact în astfel de cazuri. Îți dă voie să generalizezi, dar numai după ce ai adunat câteva exemple particulare și un argument pentru comportamentul general. Ea se bazează pe un principiu foarte simplu: dacă ai văzut că o afirmație este adevărată pentru câteva cazuri „de probă”, este suficient să demonstrezi că se păstrează adevărată și când mai adaugi încă un caz. Cum nu ai pus o limită asupra numărului total de cazuri permise, înseamnă că argumentul va fi unul general: o să funcționeze pentru toate cazurile posibile.

De multe ori, însă, metoda inducției matematice este studiată la școală cu exemple abstracte și nu este mereu clar că, de fapt, nu funcționează doar în matematică. Raționamentul inductiv este o tehnică de argumentare pe care poți să o folosești oricând vrei să ajungi la o concluzie generală după ce ai observat câteva situații particulare. În plus, ea stă la baza multor cercetări și metodei științifice: experimentele din laborator adună date particulare, practice, iar apoi intervine rolul teoriei, care formulează și demonstrează o concluzie generală.

Îți arătăm aici exemple diverse de probleme de matematică pe care să le rezolvi cu metoda inducției, dar îți explicăm și cum poți să folosești tehnica pentru o argumentare și în afara matematicii.

Intuiție#

Ești la început de drum, în clasa a noua, iar profesorii și colegii par sau chiar sunt cu toții străini. Probabil te gândești, în primul rând, cum să-ți faci cunoștințe noi, care ar putea să-ți devină prieteni.

Dacă ești extrovertit, e simplu: intuiești cu cine ar fi o idee bună să stai de vorbă și ce să discuți. Știi când să zâmbești, când să dai mâna, când să ajuți.

Dar dacă te împrietenești mai ușor cu o carte, cu un film sau cu un joc video, un zâmbet sau o conversație oricât de scurtă poate să însemne mult, simți că te arunci într-o ecuație cu multe necunoscute. Cum să mă comport ca să-mi fac prieteni? E o întrebare la care te gândești să răspunzi.

Poate o să te surprindă, dar metoda științifică are o soluție. Faci o observație, ți-o notezi, iar când crezi că ai găsit o regulă, o scrii și încerci să o demonstrezi prin încă o încercare. Pe măsură ce testezi, aplici și ajustezi regula, constați că ar putea fi de folos în general.

O astfel de procedură nu este numai pentru experimente de cercetare. O să-ți arăt cum funcționează metoda și pentru a-ți face prieteni, dar și pentru exercițiile de matematică.

Mai întâi, pentru scopurile tale de socializare, vrei să fii cât mai abordabil(ă) atent(ă) la discuții, la gesturi și să vorbești cu blândețe.

Urmărește, de exemplu, pe parcursul a cinci zile reacțiile celor din jur și notează-ți-le. Ajustează-ți comportamentul, dar nu te lăsa păcălit(ă) de o simplă situație care nu a funcționat. Nu uita: încerci să dezvolți o metodă care să-ți fie de ajutor în orice situație — adică în general.

Încet-încet, fără să-ți dai seama, deja aplici o metodă de cercetare care se numește raționamentul inductiv: pornești de la observații particulare, specifice unor anumite cazuri, și încerci, de la ele, să obții o regulă generală.

Inducția, așadar, se bazează pe această trecere: Particular → General.

Totuși, pentru că vorbim despre o metodă științifică, faptul că funcționează în câteva situații nu este suficient. Așa că ai nevoie de o demonstrație. În experimentul nostru de socializare, e greu, dacă nu imposibil, să te gândești la ceva general valabil, așa că o să-ți arăt cum faci asta în situații de matematică.

Descarcă lecția#

Aici găsești lecția întreagă în format PDF, gratuit pentru studiu și descărcare.