Puncte de acumulare#

Algebră = Ortopedie#

Matematicianul Muhammad ibn Musa al-Khwarizmi a trăit în secolele VIII-IX și este primul algebrist al istoriei. El a lucrat cea mai mare parte a vieții la Casa Înțelepciunii din Bagdad, care conținea o bibliotecă impresionantă și reunea marii gânditori ai vremii. O reprezentare a ei dintr-un manuscris din 1237 se vede în imaginea de mai jos.

Totuși, rezolvarea de ecuații și calcule aritmetice, pe care astăzi le asociem cu algebra, nu au fost studiate pentru prima dată de al-Kharizmi. Dar, în anul 820, al-Kharizmi publică tratatul al-Kitāb al-Mukhtaṣar fī Ḥisāb al-Jabr wal-Muqābalah, în traducere liberă Compendiu de calcule prin echilibrare, unde apare cuvântul al-Jabr.

Acest cuvânt a ajuns să dea termenul de algebră, chiar din primele traduceri în latină ale compendiului, unde a luat titlul Liber Algebrae.

Este mai puțin cunoscut, însă, că al-Kharizmi nu a inventat termenul, ci l-a preluat din medicina antică. El se referea la un tip de ortopedie primitivă, prin care se realiniau oasele rupte sau dislocate. De aici, ideea lui al-Kharizmi de „echilibrare” a ecuațiilor, pentru că în compendiul lui apare pentru prima dată o metodă sistematică de rezolvare a ecuațiilor algebrice.

Forma „echilibrată” pe care o căuta matematicianul este exact soluția, pentru care face, treptat, operațiile inverse, așa cum se lucrează până în zilele noastre, mai ales în clasele primare și de gimnaziu:

Matricea-mamă#

În 1850, matematicianul James Joseph Sylvester (în pictura din imagine) scrie un tratat despre determinanți și proprietățile lor. Printre ele, metoda generală de calcul prin dezvoltare a determinanților după o linie sau o coloană, ca de exemplu:

Cu această ocazie, Sylvester numește determinanții Matrix, cuvânt preluat din latină, care înseamnă mamă, născătoare. Deși matematicianul nu oferă detalii despre cum a ales cuvântul, o interpretare posibilă este că determinantul are proprietatea că produce, în timpul calculului, obiecte similare cu el, dar mai mici — care au ajuns să se numească minori, tot în familia lexicală sugerată de Sylvester.

Astăzi, matematica face o distincție clară între matrice și determinanți, însă în tratatul lui Sylvester, principala utilizare a matricelor era pentru calculul determinanților, așa că obiectele se identificau.

De la ipoteză la concluzie#

Un raționament sau un argument, fie el matematic sau logic, se bazează pe drumul de la ipoteză (Ce știu?) la concluzie (Ce vreau să demonstrez?).

Cele mai folosite tipuri de raționamente sunt inductiv, deductiv și abductiv. Diferențele dintre ele sunt mari și se referă în primul rând la atenția pe care o acordă informațiilor generale și celor particulare.

Raționamentul inductiv pornește cu o ipoteză particulară, uneori o observație concretă, a unui fenomen care s-a întâmplat o dată sau de câteva ori. De aceea, raționamentul inductiv (sau inducția) se folosește în științele experimentale. Informațiile din experimente sunt particulare, pentru că au fost observate doar în experimentele respective. Ele constituie ipotezele, iar pe baza lor, inducția încearcă să formuleze o concluzie generală.

De exemplu, dacă șapte zile la rând autobuzul 111 a venit în stație la ora 11:11 („datele experimentale”, ipoteza), atunci inducția te îndeamnă să concluzionezi că în general, programul autobuzului îl aduce în stație în fiecare zi la ora 11:11.

În logică și matematică, inducția înseamnă mult mai mult decât să tragi o astfel de concluzie. Citește mai multe în materialul nostru, astfel că o simplă observație nu te conduce automat la o concluzie corectă.

Raționamentul deductiv pornește cu ipoteza generală și particularizează. Concluzia este, deci, doar un caz special al ipotezei, așa că nu ai nevoie decât să te asiguri că te afli, într-adevăr, în cazurile acoperite de ipoteză.

De exemplu, dacă știi teorema lui Pitagora, poți să deduci că relația între catete și ipotenuză este adevărată și pentru un triunghi dreptunghic cu lungimile laturilor de 3, 4 și 5 metri. Ai informația generală (teorema), iar cazul particular care te interesează se încadrează în ipoteză, pentru că este vorba tot despre un triunghi dreptunghic.

Raționamentul abductiv este cel mai rar folosit, pentru că de multe ori trage concluzii greșite. Pornește tot cu informații particulare, ca inducția, dar concluzia pe care o trage este suficientă, nu și necesară.

De exemplu, dacă dimineața vezi strada udă, prin abducție concluzionezi că a plouat peste noapte. Dar, deși este suficient să fi plouat ca să se ude strada, nu este și necesar. Poate firma de salubritate a umezit carosabilul.

Stiloul de lux al lui Einstein și „consumabilul” lui Gödel#

În 1921, Albert Einstein primește un cadou de la colegul de breaslă Paul Ehrenfest: un stilou Waterman Ideal 22, de producție franțuzească. Îl poți vedea în imaginea de mai jos sau la Muzeul Boerhaave din Leiden, Olanda.

Pentru standardele vremii, era un model de lux, iar starea impecabilă în care s-a păstrat arată și că fizicianul l-a tratat cu atenție.

Poate și mai interesant decât modelul în sine este faptul că se crede că din penița acestui stilou ar fi apărut celebra ecuație $E = mc^2$. Există mai multe fotografii cu Einstein la birou, în timp ce lucrează cu stilourile sale (știm cu certitudine că avea mai multe, printre care și modele produse de germanii de la Pelikan). Claritatea imaginilor nu era grozavă acum un secol și nici stilourile nu erau suficient de variate în design ca să putem spune cu certitudine. Însă cadoul pe care l-a primit chiar în anul în care i s-a decernat Nobelul cu siguranță i-a folosit lui Einstein în scrierea mai multor ecuații care au schimbat fizica definitiv.

Rezultate cel puțin la fel de inovatoare în cercetare a adus și austriacul Kurt Gödel, despre care specialiștii spun că a schimbat cel mai mult logica de la Aristotel încoace. El a demonstrat celebrele teoreme de incompletitudine, conform cărora matematica trebuie să accepte unul din două neajunsuri:

• fie va putea răspunde la orice întrebare și problemă se poate formula, dar mai devreme sau mai târziu se vor găsi contradicții, adică întrebări care au demonstrații și pentru „da”, și pentru „nu”, fără ca vreuna dintre ele să fie greșită,
• fie nu va avea astfel de contradicții, dar se vor găsi întrebări la care răspunsul va fi demonstrabil imposibil de găsit.

Din Austria natală, Gödel ajunge în Statele Unite, unde, pentru o perioadă, este coleg cu Einstein la Institutul pentru Studii Avansate din Princeton. În memoriile celor doi găsești un respect reciproc deosebit. Ambii notează că întâlnirile și plimbările pe care le făceau în curtea Institutului erau printre cele mai plăcute momente ale zilei.

Cât privește stilourile lui Gödel, însă, America nu i-a priit. În 1949, austriacul scrie acasă:

„P.S. Scrisul meu urât se explică prin pierderea stiloului vechi, iar cel nou nu e bun de nimic, fiindcă am vrut să fac economie și mi-am cumpărat unul pentru $1.50. Îmi tot pierd stilourile și apoi m-aș enerva dacă ar fi scumpe.”

Corespondența îi era atent verificată în perioada celui de-al doilea Război Mondial și, deși încearcă să-i trimită mamei sale mai multe stilouri, abia în 1954 unul dintre colete ajunge la destinatar. Kurt îi trimisese „un model nou, care trage cerneala prin vârf”, probabil Sheaffer Snorkel, model american produs între 1952 și 1959.

Tigri albaștri#

Scriitorul argentinian Jorge Luis Borges (1899-1986) este cunoscut pentru subtilitățile de matematică, logică și limbaj pe care le folosește în povestirile sale. Volumul Memoria lui Shakespeare, publicat la Buenos Aires în 1983, reunește câteva dintre ultimele proze ale autorului.

Printre ele, Tigri albaștri (Tigres azules), o povestire cu o intensitate aparte, care atinge subiectul fundamentelor matematicii și logicii, printr-un paradox aritmetic.

Personajul principal al povestirii este scoțianul Alexander Craigie, cercetător specializat în logică, a cărui credință fundamentală despre funcționarea lumii se bazează pe două principii:

• Orice lucru este identic cu sine însuși sau reflexivitatea identității și
• Două lucruri identice supuse la aceeași transformare vor produce rezultate identice sau principiul identității al lui Leibniz.

Cum ar putea cineva să-și închipuie contrariul? În ce fel de lume am trăi dacă acestea două nu ar funcționa? Tocmai de aceea, principiile stau la baza fundamentelor aritmeticii. Fără ele, nu putem spune ce înseamnă 1, cum ajungi de la 1 la 2, apoi de la 2 la 3 și așa mai departe, până la întreaga mulțime a numerelor naturale: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,…, fără oprire posibilă.

Dar numerele naturale mai au o proprietate esențială: sunt discrete, adică între 1 și 2 nu se mai află nimic, la fel între 2 și 3 și între orice două numere naturale consecutive. În lipsa acestui fapt, numărarea nu ar fi fost posibilă, fiindcă avem nevoie să știm ce urmează după fiecare număr curent.

Exact aici „lovește” narațiunea lui Borges, căci Craigie pornește în căutarea unor obiecte iluzorii (tigrii albaștri, pe care te las să-i descoperi singur), iar când le găsește, constată că sfidează chiar esența aritmeticii: nu le poate număra.

Poți să citești povestirea în engleză gratuit aici sau în traducerea din română de la editura Polirom.

Ce este o necunoscută?#

Dacă ai de rezolvat o ecuație, e de la sine înțeles că necunoscuta se va nota cu $x$. Ar fi și ciudat să nu fie așa, nu?

Totuși, de ce tocmai $x$?

În istoria matematicii, ecuațiile erau formulate de multe ori cu interpretări practice. Ba chiar, până aproape de secolul al XVII-lea, când francezii René Descartes și François Viète au introdus pentru prima dată sistematic notația algebrică, ecuațiile și problemele care le reprezentau circulau într-o formă prozaică sau cu legături de tip geometric.

$x^2$, de exemplu, însemna o arie, $x$ o lungime și așa mai departe, astfel că în scrisori puteai să găsești probleme formulate de felul acesta: „trei terenuri și 5 lungimi au 7 kilometri pătrați”.

Formularea este un exercițiu de imaginație pentru o ecuație de tipul $3x^2 + 5x = 7$, dar sunt multe notații și noțiuni abstracte pe care astăzi le luăm ca atare, însă au o istorie surprinzător de recentă.

Abia în secolul al XVI-lea apare o notație cât de cât asemănătoare cu cea folosită astăzi, la galezul Robert Recorde (imaginea de mai jos, 1557). Inclusiv semnul pentru egalitate nu a fost folosit sau cunoscut de matematicieni până la Recorde, despre care se spune că l-a introdus cu interpretarea că liniile paralele sunt exemplul perfect de obiecte egale între ele.

Înainte de Recorde, când înțelepții popoarelor antice voiau să formuleze o problemă recreațională, care să nu aibă neapărat legătură cu treburi domestice sau interpretare economică ori funciară, foloseau cuvinte cu sensuri de tipul „ceva (neprecizat)”.

Despre egipteni, de exemplu, știm că foloseau cuvântul a’ha, care însemmna „grămadă”, „adunătură”. Mai târziu, arabii au folosit cuvântul al-shay’e (الشيء), adică „un lucru”, „ceva”. Aici începe și povestea lui $x$.

Europenii și, în special, spaniolii care au vrut să traducă manuscrisele arabe în latină, nu aveau în limbă sunetul ș pe care îl face termenul arab. Așa că l-au transpus în h, pentru care în notații matematice apare litera grecească $\chi$ (hi). Asemănarea vizuală cu $x$ este acum clară, iar unele dintre manuscrisele ulterioare au folosit direct litera x.

Într-o altă versiune, traducerea din arabă a folosit un termen ca xei, care, în unele dialecte ale spaniolei vechi se citește similar cu shay.